Atraktor Arneodo

Attractor Builder (dodatek do Blendera)
Równania:
ẋ = a*(x - y)
ẏ = -4*a*y + x*z + m*x**3
ż = -d*a*z + x*y + b*z**2
Parametry:
| a = 1 | b = -0.09 | d = 1.5 | m = 0.01 |
Ustawienia symulacji:
Stan początkowy: x₀ = 1, y₀ = 0.1, z₀ = 0.1
Metoda: Euler
Time Step (dt): 0.01
Steps: 15000
Burn-in: 1000
Skala: 0.1

Atraktor Arneodo został opisany w 1981 roku przez Alaina Arneodo, Paula Coulleta i Christiana Tressera jako przykład nowego mechanizmu przejścia do turbulencji. Autorzy analizowali trójwymiarowe układy równań zachowujące symetrię \( S: (x, y, z) \mapsto (-x, -y, z) \), dla których charakterystyczna jest pojawiająca się sekwencja stabilnych orbit homoklinicznych o coraz bardziej złożonej strukturze. W miarę zbliżania się parametru sterującego do wartości krytycznej układ przechodzi przez kolejne bifurkacje wynikające z rozszczepiania tych orbit, co prowadzi do powstania chaotycznego atraktora. Oryginalny układ równań ma postać (1981, s. 220, równ. 11):

\( \dot{x} = \alpha x - \alpha y \)

\( \dot{y} = -4\alpha y + xz + \mu x^{3} \)

\( \dot{z} = -\delta \alpha z + xy + \beta z^{2} \)

W analizie numerycznej autorzy przyjmują stałe parametry \(\alpha = 1.8\), \(\beta = -0.07\) oraz \(\delta = 1.5\), a następnie badają zachowanie układu przy zmianie parametru sterującego \(\mu\). Dla \(\mu \approx 0.076071\) pojawia się para stabilnych orbit homoklinicznych, dla \(\mu = 0.05\) obserwuje się stabilną, symetryczną orbitę okresową, natomiast dla \(\mu = 0.034\) – parę stabilnych orbit będących swoimi obrazami względem symetrii \(S\). Dalsze zmniejszanie \(\mu\) prowadzi – dla \(\mu = 0.02\) – do powstania atraktora o złożonej strukturze geometrycznej.

Źródło:

Arneodo, A., Coullet, P., & Tresser, C. (1981). A possible new mechanism for the onset of turbulence. Physics Letters A, 81(4), 197–201. DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601(81)90239-5