Atraktor Halvorsena

Attractor Builder (dodatek do Blendera)
Równania:
ẋ = -a*x - 4*y - 4*z - y**2
ẏ = -a*y - 4*z - 4*x - z**2
ż = -a*z - 4*x - 4*y - x**2
Parametry:
| a = 1.4 |
Ustawienia symulacji:
Stan początkowy: x₀ = 0.01, y₀ = 0, z₀ = 0.01
Metoda: DP5
Tolerancja: 0.0001
Krok min: 0.000001
Krok max: 0.1
Liczba kroków: 10000
Faza rozgrzewki (burn-in): 300
Skala: 0.2

Atraktor Halvorsena to symetryczny, trójwymiarowy układ chaotyczny zaproponowany przez Arne Dehli Halvorsena na grupie dyskusyjnej sci.fractals w latach 90. XX wieku. Zyskał on zainteresowanie środowiska naukowego dzięki swojej cyklicznej symetrii oraz estetycznej, trójskrzydłowej strukturze. Formalna analiza systemu została później przeprowadzona i opublikowana przez Juliena C. Sprotta w 1997 roku w notatce technicznej A Symmetric Chaotic Flow (University of Wisconsin–Madison). Oryginalny system równań (Sprott, 1997) ma postać:

\(\dot{x} = -a x - 4y - 4z - y^{2}\)

\(\dot{y} = -a y - 4z - 4x - z^{2}\)

\(\dot{z} = -a z - 4x - 4y - x^{2}\)

Układ Halvorsena jest wyjątkowy dzięki swojej pełnej symetrii cyklicznej: równania pozostają niezmienione przy zamianie zmiennych \(x \rightarrow y \rightarrow z \rightarrow x\). Parametr a kontroluje tłumienie i decyduje o przejściu od ruchu okresowego do chaosu. Sprott wykazał, że dla a ≈ 1.27 system przechodzi drogę do chaosu poprzez klasyczną kaskadę podwojeń okresu, tworząc złożoną strukturę atraktora w przestrzeni fazowej.

Źródło: Sprott, J. C. (1997, revised 2004). A Symmetric Chaotic Flow. Department of Physics, University of Wisconsin–Madison. Dostęp online: https://sprott.physics.wisc.edu/chaos/symmetry.htm