Atraktor Hindmarsha–Rose’a

Attractor Builder (dodatek do Blendera)
Równania:
ẋ = y - a*x**3 + b*x**2 + I - z  
ẏ = c - d*x**2 - y  
ż = r*(s*(x - x1) - z)
Parametry:
| a = 1.0 | b = 3.0 | c = 1.0 | d = 5.0 | s = 4.0 | r = 0.006 | x1 = -1.6 | I = 3.25 |
Ustawienia symulacji:
Stan początkowy: x₀ = 0.0, y₀ = 0.0, z₀ = 0.0  
Metoda: RK4  
Krok czasowy (dt): 0.01  
Liczba kroków: 50000  
Faza rozgrzewki (burn-in): 1000  
Skala: 0.3

Atraktor Hindmarsha–Rose’a pochodzi z neurobiologii i został opracowany przez J. L. Hindmarsha i R. M. Rose’a w 1984 r. jako model opisujący elektryczną aktywność pojedynczego neuronu. Układ ten odtwarza zjawiska przejść między stanem spoczynku, regularnymi impulsami (spiking) oraz seriami szybkich impulsów (bursting), charakterystyczne dla neuronów kory mózgowej. Trajektorie atraktora ukazują chaotyczne przełączanie między tymi trybami, a sam model jest jednym z pierwszych przykładów zastosowania dynamiki nieliniowej do biologicznych układów pobudliwych. Oryginalny układ równań (Hindmarsh & Rose 1984, s. 95, równanie 15) ma postać:

\[ \begin{cases} \dot{x} = y - a x^{3} + b x^{2} + I - z,\\[4pt] \dot{y} = c - d x^{2} - y,\\[4pt] \dot{z} = r\big(s(x - x_{1}) - z\big). \end{cases} \]

Model ten obejmuje trzy zmienne: \(x\) — potencjał błony neuronu, \(y\) — szybkie procesy jonowe odpowiedzialne za powstawanie impulsu, \(z\) — wolne prądy wapniowe modulujące dynamikę błony. Wartości parametrów określają charakter aktywności neuronu: zmiana prądu wejściowego \(I\) reguluje przejścia między stanem spoczynku, regularnym wyładowaniem a chaotycznym burstingiem. Autorzy podkreślili, że nawet w tak prostym trójzmiennym układzie nieliniowe sprzężenie między szybkim a wolnym kanałem jonowym wystarcza do generowania złożonych, realistycznych wzorców neuronalnych.

Źródło:

Hindmarsh, J. L., & Rose, R. M. (1984). A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations. Proceedings of the Royal Society of London. Series B. Biological Sciences, 221(1222), 87–102. DOI: https://doi.org/10.1098/rspb.1984.0024