Atraktor Langforda

Attractor Builder (Blender add-on)
Równania:
ẋ = (z - b) * x - d * y
ẏ = d * x + (z - b) * y
ż = c + a * z - (z**3)/3 - (x**2 + y**2) * (1 + e * z)
Parametry:
| a = 0.95 | b = 0.7 | c = 0.6 | d = 3.5 | e = 0.25 |
Ustawienia symulacji:
Stan początkowy: x₀ = 0.1, y₀ = 0.0, z₀ = 0.0
Metoda: RK4
Krok czasu (dt): 0.015
Liczba kroków: 15000
Faza rozgrzewki (burn-in): 300
Skala: 0.1

Atraktor Langforda to model matematyczny układu chaotycznego wprowadzony przez kanadyjskiego matematyka Williama F. Langforda w 1984 roku podczas numerycznych badań nad interakcją między bifurkacjami typu Hopfa i histerezy. Był to jeden z pierwszych gładkich, trójwymiarowych układów, które pokazały, że sprzężenie tych bifurkacji może prowadzić do zjawiska zaniku torusa (torus breakdown) i pojawienia się chaosu. Choć czasem jest mylony z atraktorem Aizawy, to właśnie praca Langforda jako pierwsza dostarczyła formalnego opisu tego typu dynamiki prowadzącej do zaniku torusa, podczas gdy Aizawa wprowadził później uproszczoną wersję tego układu. Oryginalny system zaproponowany przez Langforda (1984, s. 287) ma postać równań:

\(\dot{x} = (z - \beta)x - \omega y\)

\(\dot{y} = \omega x + (z - \beta)y\)

\(\dot{z} = \mu + \alpha z - \tfrac{1}{3}z^{3} - (x^{2} + y^{2})(\ell + p z) + \varepsilon z x^{3}\)

W tym ujęciu parametry μ, α i β określają lokalne tempo wzrostu i stabilność stanów stacjonarnych. Para ℓ i p wyznacza moment pojawienia się oraz geometrię bifurkacji Naimarka–Sackera (bifurkacji wtórnej Hopfa, czyli torus bifurcation), natomiast częstotliwość ω kontroluje ruch obrotowy w płaszczyźnie x–y. Parametr ε wprowadza nieosiowo-symetryczne zaburzenia, które niszczą gładki torus i inicjują kaskadę bifurkacji — synchronizację fazową, podwajanie okresu, a ostatecznie powstanidynamiki chaotycznej. Wraz ze wzrostem ε atraktor ewoluuje od gładkiego torusa, przez fraktalny „gruby torus”, aż do zanikającego (przejściowego) chaosu.

Źródło: Langford, W. F. (1984). Numerical Studies of Torus Bifurcations. W: Nonlinear Oscillations in Biology and Chemistry, seria International Series of Numerical Mathematics, t. 70, Birkhäuser Verlag, Basel, s. 285–295.
DOI: 10.1007/978-3-0348-6256-1_19