Atraktor Li

Attractor Builder (dodatek do Blendera)
Równania:
ẋ = a * (y - x) + d * x * z
ẏ = k * x + f * y - x * z
ż = -e * x**2 + x * y + c * z
Parametry:
| a = 40 | c = 11/6 | d = 0.16 | e = 0.65 | f = 20 | k = 55 |
Ustawienia symulacji:
Stan początkowy: x₀ = 0.01, y₀ = 0, z₀ = 0
Metoda: DP5
Tolerancja: 0.000001
Stem (min): 0
Step (max): 0.01
Krok czasowy (dt): 0.01
Liczba kroków: 7000
Faza rozgrzewki (burn-in): 1000
Skala: 0.01

Atraktor Li został zaproponowany przez Dequana Li w 2008 roku jako nowy układ chaotyczny oparty na strukturze typu Lorenz, rozszerzony o dodatkowe sprzężenia kwadratowe. Na drodze prób i błędów numerycznych autor wykazał, że gładki trójwymiarowy układ autonomiczny zawierający jedynie cztery nieliniowe człony kwadratowe może generować trójzwojowy atraktor chaotyczny. W przeciwieństwie do układów Lorenza i Chena, które tworzą dwa symetryczne „skrzydła”, układ Li posiada dodatkowy, trzeci zwojowy obszar położony ukośnie pomiędzy klasycznymi dwiema strukturami. Oryginalny system zaproponowany przez Li (2008, s. 389) ma postać:

\(\dot{x}(t) = a(y(t) - x(t)) + d\,x(t)\,z(t)\)

\(\dot{y}(t) = k\,x(t) + f\,y(t) - x(t)\,z(t)\)

\(\dot{z}(t) = -e\,x^{2}(t) + x(t)\,y(t) + c\,z(t)\)

W tym układzie parametr a kontroluje liniowe sprzężenie pomiędzy x i y, natomiast d wprowadza nieliniowy składnik \(x z\), który zakrzywia trajektorie w przestrzeni fazowej. Parametry k i f odpowiadają za liniowe wzmocnienie i tłumienie w równaniu y, e kształtuje paraboliczny człon \(-e x^{2}\), a c określa stopień pionowego ściągania trajektorii wzdłuż osi z. Dla zestawu parametrów (a=40, k=55, c=11/6, d=0.16, e=0.65, f=20) układ generuje trójzwojowy atraktor chaotyczny. Odpowiadające mu wykładniki Lapunowa (L₁=0.2315, L₂=0, L₃=−1.987) potwierdzają dysypatywny charakter chaosu z wymiarem fraktalnym około 2.12.

Źródło: Li, D. (2008). A three-scroll chaotic attractor. Physics Letters A, 372 (3–4), 387–393.
DOI: 10.1016/j.physleta.2007.07.045