Atraktor Lotki–Volterry

Attractor Builder (dodatek do Blendera)
Równania:
ẋ = x - x*y + c*x**2 - a*z*x**2
ẏ = -y + x*y
ż = -b*z + a*z*x**2
Parametry:
| a = 2.9851 | b = 3.0 | c = 2.1 |
Ustawienia symulacji:
Stan początkowy: x₀ = 0.9, y₀ = 0.9, z₀ = 0.5  
Metoda: RK4
Time Step: 0.01 
Steps: 15000
Burn-in: 50   
Scale: 10

Klasyczny model Lotki–Volterry (1925–1926) opisuje cykliczną dynamikę układu drapieżnik–ofiara w dwóch wymiarach. Trajektorie tego systemu są zamkniętymi orbitami wokół punktu stacjonarnego, co oznacza stabilne i okresowe oscylacje populacji. W 1988 roku Nikola Samardzija i Lawrence D. Greller zaproponowali jego uogólnienie do trzech wymiarów, rozszerzając klasyczny model o dodatkowy gatunek i nieliniowe sprzężenie między zmiennymi. W nowej wersji system ten generuje złożone oscylacje, bifurkacje i przejścia do chaosu. Oryginalny system równań (1988, s. 466) ma postać:

\(\dot{X} = X - XY + CX^{2} - AZX^{2}\)

\(\dot{Y} = -Y + XY\)

\(\dot{Z} = -BZ + AZX^{2}\)

Parametry A, B i C są dodatnie (A, B, C > 0). Sterują one siłą interakcji pomiędzy gatunkami: A odpowiada za sprzężenie nieliniowe pomiędzy drapieżnikami, B opisuje tempo tłumienia populacji Z, a C — efekt samowzmacniania populacji X. Autorzy wykazali, że system ten może prowadzić do powstawania chaotycznych trajektorii i fraktalnego torusa, stanowiącego przykład tzw. „eksplozywnej drogi do chaosu”.

Źródła:
Lotka, A. J. (1925). Elements of Physical Biology. Williams & Wilkins, Baltimore.
Samardzija, N., & Greller, L. D. (1988). Explosive route to chaos through a fractal torus in a generalized Lotka–Volterra model. Bulletin of Mathematical Biology, 50(5), 465–491. DOI: 10.1016/S0092-8240(88)80003-X
Volterra, V. (1926). Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi. Memorie della Reale Accademia Nazionale dei Lincei, 2(6), 31–113.