Atraktor Nosé–Hoovera

Attractor Builder (dodatek do Blendera)
Równania:
ẋ = y
ẏ = -x - z*y
ż = a * (y**2 - 1)
Parametry:
| a = 1.5 |
Ustawienia symulacji:
Stan początkowy: x₀ = 1.0, y₀ = 0.0, z₀ = 0.0  
Metoda: RK4  
Krok czasowy (dt): 0.01  
Liczba kroków: 10000  
Faza rozgrzewki (burn-in): 500  
Skala: 1

Atraktor Nosé–Hoovera powstał jako efekt uboczny deterministycznej metody kontrolowania temperatury w symulacjach molekularnych. Mechanizm ten, opracowany przez Shuichiego Nosé (1984) i uproszczony przez Williama G. Hoovera (1985), służył do utrzymywania stałej temperatury w układach dynamicznych poprzez dodanie zmiennej reprezentującej sprzężenie ze zbiornikiem ciepła. Ku zaskoczeniu autorów, nawet w prostym przypadku oscylatora harmonicznego taki układ może generować trajektorie chaotyczne. Rozszerzona analiza stabilności i chaosu została opublikowana rok później przez Hoovera, Poscha i Vesely’ego (1986), gdzie badano ewolucję układu w przestrzeni trzech zmiennych (x, y, z). Oryginalny system równań (1986, s. 4256, równ. 14) ma postać:

\(\dot{q} = p,\quad \dot{p} = -\,q - \xi\,p,\quad \dot{\xi} = \alpha\,(p^{2} - 1).\)

W tym układzie q oznacza współrzędną położenia oscylatora, p – jego pęd, natomiast ξ pełni rolę współczynnika tarcia utrzymującego stałą temperaturę układu. Parametr sprzężenia α reguluje intensywność działania termostatu Nosé–Hoovera: dla małych wartości układ zachowuje się regularnie, natomiast przy α ≈ 1.5 pojawia się ruch chaotyczny. Atraktor Nosé–Hoovera jest zatem przykładem, w którym deterministyczne sprzężenie stabilizujące energię prowadzi do globalnej niestabilności układu.

Źródła:

Nosé, S. (1984). A unified formulation of the constant temperature molecular dynamics methods. The Journal of Chemical Physics, 81(1), 511–519. DOI: 10.1063/1.447334

Hoover, W. G. (1985). Canonical dynamics: Equilibrium phase-space distributions. Physical Review A, 31(3), 1695–1697. DOI: 10.1103/PhysRevA.31.1695

Posch, H. A., Hoover, W. G., & Vesely, F. J. (1986). Canonical dynamics of the Nosé oscillator: Stability, chaos, and heat flow. Physical Review A, 33(6), 4253–4265. DOI: 10.1103/PhysRevA.33.4253