Atraktor Rikitakego

Attractor Builder (dodatek do Blendera)
Równania:
ẋ = -b * x + z * y
ẏ = -b * y + (z - a) * x
ż = 1 - x * y
Parametry:
| a = 5 | b = 2 |
Ustawienia symulacji:
Stan początkowy: x₀ = 1, y₀ = 1, z₀ = 1   
Metoda: RK4  
Krok czasowy (dt): 0.01  
Liczba kroków: 15000  
Faza rozgrzewki (burn-in): 500  
Skala: 0.4

Atraktor Rikitakego wywodzi się z klasycznego modelu dwóch sprzężonych dynamo-tarcz opracowanego przez Tsunejiego Rikitake w 1957 roku w celu opisu nieregularnych odwróceń pola magnetycznego Ziemi. Układ ten, znany jako system dwóch dysków dynama, opisuje wzajemne oddziaływanie dwóch obwodów elektrycznych sprzężonych przez momenty magnetyczne wirujących przewodników. W ujęciu oryginalnym Rikitakego (1957, s. 90–91) równania przyjmują postać:

\( L_1 \frac{dI_1}{dt} + R_1 I_1 = 2\pi M \Omega_1 I_2, \)

\( L_2 \frac{dI_2}{dt} + R_2 I_2 = 2\pi N \Omega_2 I_1, \)

\( G_1 \frac{d\Omega_1}{dt} = G_1 - 2\pi M I_1 I_2, \quad G_2 \frac{d\Omega_2}{dt} = G_2 - 2\pi N I_1 I_2. \)

Rikitake zauważył, że dla pewnych wartości parametrów sprzężone równania dla prądów (I₁, I₂) i prędkości kątowych (Ω₁, Ω₂) prowadzą do oscylacji nieregularnych — chaotycznych — mogących modelować zmiany biegunowości pola geomagnetycznego. Po uproszczeniu i przejściu do postaci bezwymiarowej otrzymuje się klasyczny trójwymiarowy układ znany dziś jako atraktor Rikitakego (McMillen, 1999, s. 1):

\(\dot{x} = -\mu x + y z\)

\(\dot{y} = -\mu y + (z - a)x\)

\(\dot{z} = 1 - x y\)

W wersji używanej w dodatku Blendera parametry a i b odpowiadają odpowiednio współczynnikowi sprzężenia pomiędzy obwodami oraz tłumieniu (odpowiednikowi μ). Dla wartości a = 5 i b = 2 układ generuje charakterystyczny atraktor o dwóch wirujących płatach, ilustrujący zjawisko niestabilnych przełączeń magnetycznych — analogię odwróceń biegunów w polu geomagnetycznym.

Źródła:
Rikitake, T. (1957). Oscillations of a System of Disk Dynamos. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 54(1), 89–105. DOI: 10.1017/S0305004100033223
McMillen, T. (1999). The Shape and Dynamics of the Rikitake Attractor. The Nonlinear Journal, 1, 1–10.