Atraktor Shimizu–Morioka

Attractor Builder (dodatek do Blendera)
Równania (wersja implementacyjna):
ẋ = y
ẏ = (1 - z) * x - a * y
ż = x**2 - b * z
Parametry:
| a = 0.7 | b = 0.1 |
Ustawienia symulacji:
Stan początkowy: x₀ = 0.1, y₀ = 0.0, z₀ = 0.2
Metoda: RK4
Time Step (dt): 0.01
Steps: 50000
Burn-in: 500
Skala: 1.5

Atraktor Shimizu–Morioka należy do klasy trójwymiarowych układów równani nieliniowych, które zachowują kluczowe cechy dynamiki modelu Lorenza, ale mają prostszą postać analityczną. Jego geneza wiąże się z pracami T. Shimizu i N. Morioki nad uproszczonym modelem bifurkacji cyklu granicznego w pobliżu przejścia do złożonych zachowań okresowych i chaotycznych. W artykule z 1980 roku autorzy analizują dwuwymiarowy „prosty model” pokazujący przejście od cyklu symetrycznego do pary cykli asymetrycznych, z dynamiką bardzo podobną do tej znanej z równania Lorenza. W dalszych badaniach A. L. Shilnikov wprowadził trójwymiarowy układ, który obecnie powszechnie określa się mianem modelu Shimizu–Morioka, wykorzystując go jako normalną postać do badania bifurkacji atraktora Lorenza. Układ ma postać (1993, s. 338, rów. 1):

\( \dot{x} = y \)

\( \dot{y} = x - \lambda y - xz \)

\( \dot{z} = -\alpha z + x^{2} \)

Parametry \(\lambda > 0\) i \(\alpha > 0\) pełnią rolę współczynników tłumienia: \(\lambda\) odpowiada za dyssypację w równaniu dla \(y\), natomiast \(\alpha\) kontroluje relaksację zmiennej \(z\). Dla odpowiednich wartości, takich jak \(\lambda \approx 0.7\) i \(\alpha \approx 0.1\), układ generuje złożony, niestacjonarny ruch w trójwymiarowej przestrzeni fazowej, w którym trajektorie wielokrotnie zawijają się wokół dwóch wyróżnionych „płatów” i nigdy się nie zamykają, tworząc dziwny atraktor o strukturze przypominającej geometrię atraktora Lorenza.

Źródła:

Shimizu, T., & Morioka, N. (1980). On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model. Physics Letters A, 76(3–4), 201–204. DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601(80)90466-1

Shil'nikov, A. L. (1993). On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimizu–Morioka model. Physica D: Nonlinear Phenomena, 62(1–4), 338–346. DOI: https://doi.org/10.1016/0167-2789(93)90292-9