Atraktory Sprotta

Attractor Builder (dodatek do Blendera)
Równania:
ẋ = -y
ẏ = x + z
ż = x*z + a*y**2 
Parametry:
| a = 3 |  
Ustawienia symulacji:
Stan początkowy: x₀ = 0.1, y₀ = 0, z₀ = 0  
Metoda: RK4  
Krok czasowy (dt): 0.01  
Liczba kroków: 30000  
Faza rozgrzewki (burn-in): 500  
Skala: 0.7

Atraktory Sprotta stanowią rodzinę prostych układów chaotycznych zaproponowanych przez Juliena C. Sprotta w 1994 r. Autor przeanalizował ogólną postać trójwymiarowych, autonomicznych układów równań różniczkowych z nieliniowościami kwadratowymi i odnalazł dziewiętnaście różnych przykładów wykazujących chaos deterministyczny. Układy te – oznaczone literami od A do S – charakteryzują się wyjątkową prostotą: każdy zawiera jedynie pięć lub sześć wyrazów, z jedną lub dwiema nieliniowościami. Poniżej przedstawiono wszystkie układy (A–S) w oryginalnej postaci (1994, s. 649, tabela I):

A: \(\dot{x}=y,\ \dot{y}=-x+y\,z,\ \dot{z}=1-y^{2}\)

B: \(\dot{x}=y\,z,\ \dot{y}=x-y,\ \dot{z}=1-x\,y\)

C: \(\dot{x}=y\,z,\ \dot{y}=x-y,\ \dot{z}=1-x^{2}\)

D: \(\dot{x}=-y,\ \dot{y}=x+z,\ \dot{z}=x\,z+3\,y^{2}\)

E: \(\dot{x}=y\,z,\ \dot{y}=x^{2}-y,\ \dot{z}=1-4\,x\)

F: \(\dot{x}=y+z,\ \dot{y}=-x+0.5\,y,\ \dot{z}=x^{2}-z\)

G: \(\dot{x}=0.4\,x+z,\ \dot{y}=x\,z-y,\ \dot{z}=-x+y\)

H: \(\dot{x}=-y+z^{2},\ \dot{y}=x+0.5\,y,\ \dot{z}=x-z\)

I: \(\dot{x}=-0.2\,y,\ \dot{y}=x+z,\ \dot{z}=x+y^{2}-z\)

J: \(\dot{x}=2\,z,\ \dot{y}=-2\,y+z,\ \dot{z}=-x+y+y^{2}\)

K: \(\dot{x}=x\,y-z,\ \dot{y}=x-y,\ \dot{z}=x+0.3\,z\)

L: \(\dot{x}=y+3.9\,z,\ \dot{y}=0.9\,x^{2}-y,\ \dot{z}=1-x\)

M: \(\dot{x}=-z,\ \dot{y}=-x^{2}-y,\ \dot{z}=1.7+1.7\,x+y\)

N: \(\dot{x}=-2\,y,\ \dot{y}=x+z^{2},\ \dot{z}=1+y-2\,z\)

O: \(\dot{x}=y,\ \dot{y}=x-z,\ \dot{z}=x+x\,z+2.7\,y\)

P: \(\dot{x}=2.7\,y+z,\ \dot{y}=-x+y^{2},\ \dot{z}=x+y\)

Q: \(\dot{x}=-z,\ \dot{y}=x-y,\ \dot{z}=3.1\,x+y^{2}+0.5\,z\)

R: \(\dot{x}=0.9-y,\ \dot{y}=0.4+z,\ \dot{z}=x\,y-z\)

S: \(\dot{x}=-x-4\,y,\ \dot{y}=x+z^{2},\ \dot{z}=1+x\)

Przypadki A–E mają pięć wyrazów i dwie nieliniowości, natomiast F–S – sześć wyrazów i jedną. Są to trójwymiarowe systemy dysypatywne o dziwnych atraktorach, które często wykazują spiralną strukturę z jednym fałdem, podobną do atraktora Rösslera. W dodatku do Blendera podano układ równań dla atraktora D, który należy do grupy systemów z dwiema nieliniowościami. Charakteryzuje się on złożonym, spiralnym ruchem z jednym punktem skupienia i wyraźną strukturą fałdu, przypominającą atraktor Rösslera. Jest to jeden z klasycznych przykładów, w których prosty zestaw równań generuje bogate, nieregularne trajektorie w przestrzeni fazowej. Wymienione wyżej układy generujące chaos deterministyczny zostały szczgółowo opisane przez Sprotta w jego książce Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows (2010), która stanowi kompleksowe opracowanie tematu prostych trójwymiarowych układów chaotycznych.

Źródła:

Sprott, J. C. (1994). Some simple chaotic flows. Physical Review E, 50(2), 647–650. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.50.R647

Sprott, J. C. (2010). Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows. World Scientific Publishing, Singapore. DOI: https://doi.org/10.1142/7183