Atraktor Thomasa

Attractor Builder (dodatek do Blendera)
Równania:
ẋ = - b*x + sin(y)
ẏ = - b*y + sin(z)
ż = - b*z + sin(x)
Parametry:
| b = 1.5 |
Ustawienia symulacji:
Stan początkowy: x₀ = 0.02, y₀ = 0.01, z₀ = 0.03
Metoda: RK4
Time Step (dt): 0.03
Steps: 10000
Burn-in: 500
Skala: 0.7

Atraktor Thomasa jest przykładem trójwymiarowego układu nieliniowego, w którym chaotyczna dynamika wynika ze struktury sprzężeń zwrotnych między zmiennymi. Został opisany przez René Thomasa w pracy poświęconej analizie chaosu w układach z pętlami sprzężenia oraz konstrukcji prostych modeli wykazujących złożone zachowanie dynamiczne. Autor przedstawia ogólny układ (1999, s. 1896, równ. 2):

\( \dot{x} = -b x + f(y), \)

\( \dot{y} = -b y + f(z), \)

\( \dot{z} = -b z + f(x), \)

gdzie \(b > 0\) jest współczynnikiem tłumienia, a funkcja \(f\) wprowadza nieliniowość odpowiedzialną za powstawanie chaosu. Thomas pokazał, że wiele różnych funkcji, tym \(f(u)=\sin u\), prowadzi do powstania trajektorii chaotycznych pod warunkiem zachowania cyklicznego sprzężenia między zmiennymi. Dla wartości \(b \approx 0.15\) układ ten generuje złożone, nieperiodyczne trajektorie, które wielokrotnie oplatają się wokół symetrycznych obszarów w przestrzeni fazowej. System ten jest przykładem tzw. „chaosu labiryntowego”, opisywanego przez Thomasa jako efekt wynikający z cyklicznych sprzężeń i nieliniowej odpowiedzi.

Źródło:

Thomas, R. (1999). Deterministic chaos seen in terms of feedback circuits: analysis, synthesis, “labyrinth chaos”. International Journal of Bifurcation and Chaos, 9(10), 1889–1905. https://doi.org/10.1142/S0218127499001383